![Найти Объем Треугольной Пирамиды С Вершинами В Точках Найти Объем Треугольной Пирамиды С Вершинами В Точках](http://5terka.com/images/atan1011geom/atan1011reshf4-262.png)
Дана треугольная пирамида. Найти уравнения ребра, его длину, уравнение грани, угол и т.
После пройденного пути, который начался на уроке Векторы для чайников и закончился статьёй Задачи с прямой и плоскостью, рассмотрим распространённое задание, главным действующим героем которого является треугольная пирамида (тетраэдр). Посмотрим на эту пространственную фигуру и перечислим её элементарные признаки: У треугольной пирамиды есть: – четыре вершины; – шесть рёбер (сторон); – четыре грани. Чем богаты, тем и рады. Каждая из четырёх граней представляет собой треугольник, отсюда и название – треугольная пирамида или тетраэдр. Не буду перечислять геометрические свойства данной фигуры, известные из школьной программы, поскольку аналитическая геометрия вскрывает пакет молока своим способом.
А именно, пристальное внимание уделяется уравнениям рёбер, плоскостей, всевозможным углам пирамиды и некоторым другим вещам, скоро увидите. Примечание: корректнее говорить «уравнения прямой, содержащей ребро (ст. Орону)» и «уравнение плоскости, содержащей грань». Но для краткости будем использовать словосочетания «уравнения ребра (сторон. Ы)» и «уравнение грани». Особых трудностей не ожидается, так как весь инструментарий базируется на уже изученных материалах. Но если где- то обнаружатся пробелы, ничего страшного, каждый пункт решения будет снабжён ссылками на нужные уроки, чайник пыхтит – задача решается =) Кроме того, мы поэтапно выполним точный чертёж пирамиды в прямоугольной системе координат.
Это очень важный шаг для тех, кто только начинает разбираться с трёхмерными чертежами. Приключения с треугольной пирамидой концептуально напоминают задачу с треугольником на плоскости. И начинаются они примерно так: Треугольная пирамида задана координатами своих вершин. Далее, как правило, вам предложат четыре точки пространства. Причём, прямо сейчас =)Пусть это будут вершины .
Требуется: Потребуется много чего…. Счастливчики отделаются 3- 4 пунктами, а билет с крупным выигрышем может насчитывать добрый десяток заданий. Поздравляю, вы сорвали Джекпот! Это единственная задача данного урока, и вот так, слегка креативно, я решил записать условие..
Пример 1, Пример 2, Пример 3, …. Начнём- с бренчать монетами по карманам. Во- первых, разберёмся с обозначениями вершин.
Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах. Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти объем пирамиды или объем тетраэдра построенных на векторах. тремя векторами, координатами вершин Упражнения. Определение вектора по двум точкам на плоскости. Объем пирамиды Вы можете найти в режиме реального времени, просто введя свои данные!
(,,) Координаты точки D, 4-ой вершины. Примеры нахождения объема пирамиды: Пример № 1, Пример № 2.
- Треугольная пирамида задана координатами своих вершин. Далее, как правило, вам предложат четыре точки пространства.
Как найти объем треугольной пирамиды? 10) Старая добрая задача. - Задача 6. Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань. Решение. Объём пирамиды равен одной шестой части объёма параллелепипеда..
- Треугольная пирамида задана координатами своих вершин. Далее, как правило, вам предложат четыре точки пространства. Как найти объем треугольной пирамиды? 10) Старая добрая задача..
- Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках и его высоту, опущенную Объём пирамиды равен одной шестой части объёма параллелепипеда.
- Объем пирамиды Вы можете найти в режиме реального времени, просто введя свои данные! (,,) Координаты точки D, 4-ой вершины. Примеры нахождения объема пирамиды: Пример № 1, Пример № 2..
Самый распространённый вариант, когда они обозначены буквами . Выполним схематический чертёж: Если бегло просмотреть пункты задачи, то легко заметить, что в условии часто встречается грань . Чаще всего требуется составить уравнение этой «особенной» грани, а также найти её площадь. В качестве «особенной» вершины выступает точка , обычно из неё строится перпендикуляр к плоскости .
А всё это я сказал к тому, что в вашей задаче могут быть совершенно другие обозначения вершин. Например, . При таких буквах «особенной» гранью, скорее всего, будет грань , а «особенной» точкой – вершина . В этой связи, очень важно выполнить схематический рисунок пирамиды, чтобы не запутаться в дальнейшем алгоритме решение. Да, более подготовленные читатели могут представлять тетраэдр мысленно, но для чайников чертёж просто обязателен.
Итак, на предварительном этапе разбираемся с обозначениями вершин пирамиды, анализируем условие, находим «нужную» плоскость и точку, выполняем бесхитростный набросок на черновике. С чего начать решение задачи? Перед тем, как отправиться в весёлое путешествие по пунктам условия, удобно найти три вектора. Почти всегда векторы откладываются от первой вершины, в данном случае – от точки . Решим элементарную задачу урока Векторы для чайников: Элементарность элементарностью, но многие давно заметили, что эти простые вычисления на самом деле… достаточно неприятны!
![Найти Объем Треугольной Пирамиды С Вершинами В Точках Найти Объем Треугольной Пирамиды С Вершинами В Точках](http://net-dvoek.ru/uploads/posts/2015-08/25aw3wuqog.png)
Дело в том, у каждого из нас бывает наваждение а- ля «два плюс два равно пяти», поэтому лучше подстраховаться и воспользоваться программой, которая заранее обсчитает многие параметры пирамиды. Калькулятор можно закачать на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, чтобы эффективнее и КОМФОРТНЕЕ воспринимать информацию, координаты четырёх точек и трёх полученных вектора рекомендую переписать на бумагу.
Как найти длину ребра пирамиды? Найдём длину ребра . Длина данного ребра равна длине вектора : Я обычно округляю результаты до двух знаков после запятой, но в условии задачи может быть дополнительное указание проводить округления, например, до 1- го или 3- го десятичного знака.
Думаю, в случае необходимости никого не затруднит аналогичным образом найти длины рёбер или . Если же вам предложено найти длину какой- нибудь другой стороны, то используйте формулу нахождения длины отрезка по двум точкам: Это всё простейшие задачи первого урока про векторы. Как составить уравнения стороны пирамиды? Найдём уравнения ребра . Очевидно, что речь идёт об уравнениях прямой в пространстве, но нам не сказано, в каком виде их нужно составить. По умолчанию» обычно подразумевается, что студент запишет канонические уравнения прямой.
Уравнения ребра составим по точке (можно взять ) и направляющему вектору : В целях проверки следует убедиться, что обе точки удовлетворяют найденным уравнениям. Как найти угол между рёбрами пирамиды? Найдём угол между сторонами : Перед вами обычный угол пространственного треугольника, который рассчитывается как угол между векторами. И снова при делах тривиальная формула урока Скалярное произведение векторов: Заметьте, что в ходе решения можно (и нужно) использовать полученные ранее результаты, в данном случае нам уже известно, что (см. С помощью обратной функции находим сам угол: Как найти площадь грани пирамиды?
Найдём площадь грани : Площадь треугольника вычислим с помощью векторного произведения векторов, используя формулу . Сначала найдём векторное произведение: И вычислим его длину: Вынести из- под корня ничего нельзя, поэтому он войдёт в ответ в неизменном виде. Площадь грани : Если получаются страшноватые числа, не обращайте внимания, обычная картина. Главное, не допустить ошибку в вычислениях.
Как найти угол между ребром и гранью? Найдём угол между ребром и плоскостью . Это стандартная задача, рассмотренная в Примере №3 п. Основные задачи на прямую и плоскость. Прошу прощения за неточности ряда последующих чертежей, я рисую от руки, отражая лишь принципиальную картину: Используем формулу: И с помощью арксинуса рассчитываем угол: Как найти уравнение грани? Составим уравнение плоскости.
Первая мысль – использовать точки , но есть более выгодное решение. У нас уже найден вектор нормали плоскости . Поэтому уравнение грани составим по точке (можно взять либо ) и вектору нормали : Для проверки можно подставить координаты точек в полученное уравнение, все три точки должны «подходить». Как составить уравнения высоты пирамиды? Звучит грозно, решается просто. Уравнения высоты , опущенной из вершины на грань , составим по точке и направляющему вектору : – по умолчанию записываем канонические уравнения. Вектор нормали в рассматриваемой задаче работает на всю катушку, и как только вам предложили найти площадь грани, составить уравнение грани или уравнения высоты – сразу пробивайте векторное произведение.
Как найти длину высоты пирамиды? Пример № 9 статьи Уравнение плоскости. Длину высоты найдём как расстояние от точки до плоскости : Результат громоздкий, поэтому позволим себе вольность не избавляться от иррациональности в знаменателе. Как найти основание высоты пирамиды?
Найдём основание высоты . Тема пересечения прямой и плоскости подробно муссировалась на уроке Задачи с прямой и плоскостью. Повторим. Перепишем уравнения высоты в параметрической форме: Неизвестным координатам точки соответствует вполне конкретное значение параметра : , или: . Основание высоты, понятно, лежит в плоскости.
Подставим параметрические координаты точки в уравнение : Кому- то покажется жестью, но я ничего не придумал – такое задание с зубодробительными дробями время от времени встречается на практике. Полученное значение параметра подставим в координаты нашей точки: Сурово, но идеально точно. Я проверил. Как найти объем треугольной пирамиды?
Старая добрая задача. В аналитической геометрии объем пирамиды традиционно рассчитывается с помощью смешанного произведения векторов: Таким образом: В данном случае уместно выполнить проверку, вычислив объем тетраэдра по школьной формуле , где – площадь грани, – длина высоты, опущенной к этой грани.
Уместно ПОТОМУ, что мы знаем и площадь грани , и длину соответствующей высоты Как составить уравнения медианы грани пирамиды? Составим уравнения медианы грани . Ничего сложного, обычная медиана обычного пространственного треугольника: По сравнению с треугольником на плоскости, добавится лишь дополнительная координата. Нам известны вершины , и, по формулам координат середины отрезка, находим реквизиты точки : Уравнения медианы можно составить по двум точкам, но в статье Уравнения прямой в пространстве, по некоторым причинам я не рекомендовал использовать такой способ. Поэтому сначала найдём направляющий вектор прямой: За направляющий вектор можно взять любой коллинеарный вектор, и сейчас подходящий момент избавиться от дробей: Уравнения медианы составим по точке и направляющему вектору : Заметьте, что уравнения с эстетической точки зрения лучше составить по точке , так как координаты точки «эм» – дробные.
Проверка рутинна, нужно подставить координаты точек в полученные канонические уравнения. Как составить уравнение плоскости, проходящей через вершину и ребро? Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину : А задаёт ли вообще прямая и не принадлежащая ей точка плоскость? Да, это «жёсткая конструкция», однозначно определяющая плоскость. К сожалению, мы не знаем вкусный нормальный вектор плоскости , и самый короткий путь – составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам.
В качестве точки обязательно выбираем «одинокую» точку, которая не принадлежит прямой, в данном случае – это вершина . Один из необходимых векторов уже известен: , но, конечно же, удобнее выбрать друга- мажора . В качестве второго вектора подходит либо (и вообще, бесконечно много векторов, но у нас есть только две «готовые» точки прямой ).